在数论领域，费马的名字因“费马大定理”而特别响亮。费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图的《算术》时作为卷2命题8的一条页边批注而提出。 1670年费马之子萨缪尔（Samue1）连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，吸引历代数学家为它的证明付出了巨大的努力，有力地推动了数论乃至整个数学的进步；1994年，这一旷世难题被英国数学家威尔斯（A。Wi1es）解决。 以下就是费马的页边批注:(原文为法文)

    把一个数的立方分成另两个数的立方和，把一个数的四次方分成另两个数四次方的和，或一般地，把一个数的高于2的任何次方分成两个数的同次方的和是不可能的。我确信已找到了一个极佳的证明，但书的空白大窄，写不下。

    费马小定理

       费马经常把他的一些研究结果写信告诉其他数学家。在1640年10月18日致德·贝西（RRdeBessy）的一封信中包含了后以" 费马小定理”著称的如下结果：如果p是素数，a与p互素，则被p整除。费马曾对欧凡里得《几何原本的定理》，36很感兴趣，该定理是说：

   如果2”一1是素数，则形如2～’（2”一1）的数是完全数，即它等于其所有因子的和。这种像2一‘的数费马叫做完全数的根。在1640年6月写给梅森神父（M。 Mersenne的信中费马有如下结论：如果n非素，贝 2”一 1非素；如果”是素数，则2”一2可被门整除；如果”是素 数，贝：J 2、一：只能被形如2kn＋i的素数整除。同年8月在给贝西的信中，费马讨论了2、＋1型的数（当”一2’时， 22t＋1型数后被称为“费马数”。）费马在10月18日写给 贝西的信中首先回顾了上述诸信的结果，然后转向“费马小定理”。以下摘录该信有关部分，转译自趴J．Struik：A、 Source BOok in Math． pp。 28～29。 1640年10月10 H费马写给贝西（de Bessv）（1605～1675）的一封信：

上次信后。我觉得还应该告诉你我构造的所有有关那个几何级数的证明的根据是什么。
      内容如下：

      ①1640年8月，费马曾写信给贝西，信中说他“几乎确信·：当”为2的幂时，2”十：型的数是素数。我们现在知道，”：2，4，8，16时此命题成立，但“＝32时的情况后来、被欧拉证明是不对的，此时232＋1可被641整除。 每个素数总是任意级数①中的一个幂减：的因子，而幂指数是该素数减：的因子，当找到满足这个命题的第一个指数后，则以此指数的倍数为幂指数的所有幂也都满足命题。

      例：设给定级数

          1 2 3 4 5 6

          3 9 27 81243 729···

     幂指数写在上面一行。 比如素数13，它是三次幂减：的因子，指数3又是12（即13一1）的因子，729的幂指数是6，它是第一个满足条件的指数3的倍数，那么13也是729减：的一个因子。这一命题对所有级数和素数都是正确的。若非怕篇幅过长，我就会寄给你这个命题的证明。 但是，“每个素数都是任何这种级数中的一个幂加：的因子”，这个命题却不一定正确

     ②。因为若所说的素数是一个幂减：的因子，其指数若是奇数，则在这种情况下这个素数就不是级数中下文幂加：的因子；

     例：在之的直至无穷的级数中，23是2的11次幂减：的因子，但它不是2的某个幂加：的因子。 但如果第一个使所给的素数是一个幂减：的因子的指数是偶数，则在这种情况下，原指数的一半为指数的幂加：＝将以给定的素数作为它的一个因子。 所有的难点在于找出那些素数，它们不是给定的级数中的任何幂加：的因子。因为这有助于发现哪些素数是完全数的根的因子，也有助于发现许许多多别的事情，诸如为什么2的37次幂减1有因子223。总而言之，我们必须确定哪些素数力最小幂减：的因子，这里的幂指数为一奇数——我认为这是很困难的。