空间角与距离是立体几何的重点内容，也是高考的热点，这类习题一般有两种思路：一是根据空间元素的位置关系按“一作二证三计算”的几何法则进行，而高考对这三步的互相渗透，互相结合有明确的要求，这三个步骤缺一不可，而且要表述准确，清晰，简明，稍有不当就不完整;二是利用空间向量进行计算。如果利用空间向量解题就会使问题变得思路明确，运算简单，以达到事半功倍的效果。在第二轮复习中应加强使用向量解题，以达到综合运用知识的目的。

一、巧用空间向量的数量积求证垂直或求线线角，无须找角

理论依据：设 分别是直线L ，L 的方向向量，L ，L 两直线所成的角为 ，则cos = =

例1：(2002，北京，春招) 如图：在三棱锥S-ABC 中，

∠SAB=∠SAC=∠ACB=90，AC=2，BC= ，SB=

(1)证明：SC⊥ BC

(2) 求异面直线SC与AB所成的角的大小

证：∵SA ⊥AB ，SA ⊥ AC

∴ SA⊥面SAB ∴ SA ⊥BC

∵ ˙ =( + )˙ = ˙ + ˙ =0

∴ ⊥ 即SC ⊥ BC

RT△AΒC中：│AB│= ;在RT△SAB中：AS=2 在RT△SAC中：SC=4∴ ˙ =( + )˙( + )

= ˙ + ˙ + ˙ + ˙ =0+0+4+0=4

又∵∣ ∣˙∣ ∣=4

∴cosθ= = =

∴异面直线SC与AB所成的角为arcos

点评：利用空间向量解题的基本方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，再运算或证明。

二 、巧用空间向量避免作二面角的平面角

理论依据：设PA，QB分别是二面角 ─L─ 的两个半平面内垂直于棱的向量，则这个二面角的平面角的大小是 =arccos (或它的补角)(但取向量时一定要注意方向)

例2：(2004，全国，文理)已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，PB⊥AD，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角为120°，求面PAB与面CPB所成的二面角的大小。

解：如图建系：O为坐标原点，x轴

平行于DA，则P(0，0， )，B(0， ，0)，PB

的中点G(0， ， )。连AG，则A(1， ，0);

C(-2， ，0)

∴ =(1，- ，- )， =(0， ，- ) =(-2，0，0)

∴ ˙ =- +(- ) (- )=0

∴ ˙ =0 ∴ ⊥ ， ⊥

∴ 与 的夹角 为所求二面角的平面角

∴cos = = =-

∴所求二面角的大小为 -arcos

点评：图形中如果有(或能创建)三条两两垂直的线段， 可以考虑使用向量点的坐标求解。步骤：(1)建系，写出相关点的坐标，(2)将相应线段转化为向量的坐标形式(3)利用相关公式运算，得出结论。

三、巧用方向向量在平面的法向量上的射影长求点到面的距离，避免作点到面的距离

理论依据：设 是平面 的法向量，AB是 的斜线，B ，则点A到平面 的距离d=

例3：(2003，天津，理)如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA =2，D，E分别是CC ，A B的中点，点E在面ABD的射影是△ ABD的重心G。

求A B与面ABD所成角的大小求点A 到面AED的距离解：(1)连BG，则BG是BE在面ABD的射影，

即∠A BG是A B与面ABD所成的角。

如图建系c-xyz，设CA=2a，(a 则：

A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)

A (2a，0，2)，E(a，a，1)，G( ， ， )

=( ， ， )， =(0，-2a，1)

∴ ˙ =- a + =0 ∴a=1

=(2，-2，2)， =( ，- ， )

∴ cos∠A BG= = = 。

∴ A B与面ABD所成角的角为arccos

(2)面ADE的法向量为 =(x，y，1)， =(-2，0，1)

=(1，1，0)， =(0，0，2)∴ =0， =0

得1-2x=0 且 x+y=0 ∴x= y=-

∴ =( ，- ，1)∴h=

第二轮复习的重点在于归纳，整理，强化知识，使知识系统化，解题模式化，注重知识的综合运用，这样解题才能得心应手。以上三例，都是相关的高考题，着重考查数量积的概念及利用向量求线段的夹角，线段的长度，证明线线垂直，点到面的距离等问题，还有很多习题都是可以既用几何又可用向量求解，在平时的学习中加强用高要求解题以发现知识上的弱点，增强空间想象能力和几何逻辑思维能力，增强应试能，对建立良好的知识网络是大有益处的。